Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R），且f（1）=0．
（1）若函數(shù)f（x）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）之間的距離為2，求b的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+x+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間（-3，-2），（0，1）內(nèi)，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與二次方程的根之間的關(guān)系，建立x₁，x₂與其系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；根據(jù)兩交點(diǎn)之間的距離為2，列出關(guān)于字母b的方程完成求解；
（2）根據(jù)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系，列出函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)值的正負(fù)的不等式組，通過(guò)求解不等式組得出b的取值范圍．
解答：解：（1）由題可知，x₁=1，x₂=c，x₁+x₂=-2b
又|x₁-x₂|=|1-c|=2⇒x₂=c=-1或3⇒b=0或-2．
（2）令g（x）=f（x）+x+b=x²+（2b+1）x+b+c=x²+（2b+1）x-b-1
由題意，得到，
故b的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的零點(diǎn)與二次方程的根之間的關(guān)系，考查二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)二次方程根的分步知識(shí)的理解和掌握程度，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想和方法．