Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a₁=1，b_n=n，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（ⅰ）記c_n=a_6n-1（n≥1），求證：數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列；
（ⅱ）若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次．求a₁應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的基本性質(zhì)以及題中已知條件便可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）（�。┫雀鶕�(jù)題中已知條件推導(dǎo)出b_n+6=b_n，然后求出c_n+1-c_n為定值，便可證明數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列；
（ⅱ）數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列，然后分別討論當(dāng)時和當(dāng)時，數(shù)列是否滿足題中條件，便可求出a₁應(yīng)滿足的條件．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，
有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1（2分）
=．（3分）
又因為a₁=1也滿足上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項為．（4分）
（Ⅱ）由題設(shè)知：b_n＞0，對任意的n∈N^*有b_n+2b_n=b_n+1，b_n+1b_n+3=b_n+2得b_n+3b_n=1，
于是又b_n+3b_n+6=1，故b_n+6=b_n（5分）
∴b_6n-5=b₁=1，b_6n-4=b₂=2，b_6n-3=b₃=2，b_6n-2=b₄=1，
（�。ヽ_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=b_6n-1+b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4=（n≥1），
所以數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．（7分）
（ⅱ）設(shè)d_n=a_6n+i（n≥0），（其中i為常數(shù)且i∈{1，2，3，4，5，6}），
所以d_n+1-d_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5=7（n≥0）
所以數(shù)列{a_6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列．（9分）
設(shè)，
（其中n=6k+i（k≥0），i為{1，2，3，4，5，6}中的一個常數(shù)），
當(dāng)時，對任意的n=6k+i有=；（10分）
由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；
此時重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次．
當(dāng)時，=
①若，則對任意的k∈N有f_k+1＜f_k，所以數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列；
②若，則對任意的k∈N有f_k+1＞f_k，所以數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列；
（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均為單調(diào)數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多各出現(xiàn)一次，
即數(shù)列中任意一項的值最多出現(xiàn)六次．
綜上所述：當(dāng)時，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次．
當(dāng)a₁∉B時，數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次．（14分）
點評：本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．