Question

已知x∈R，f(x)=

1

2

sin2x(

1

tan x 2

-tan

x

2

)+

3

2

cos2x．
（1）若0＜x＜

π

2

，求f（x）的單調(diào)的遞減區(qū)間；
（2）若f(x)=

3

2

，求x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由已知條件化切為弦，利用二倍角公式求出f（x）=sin（2x+

π

3

），由此能求出0＜x＜

π

2

時(shí)，f（x）的單調(diào)的遞減區(qū)間．
（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

2

sin2x(

1

tan x 2

-tan

x

2

)+

3

2

cos2x，
∴f(x)=

1

2

sin2x(

1+cosx

sinx

-

1-cosx

sinx

)+

3

2

cos2x
=

1

2

sin2x•

2cosx

sinx

+

3

2

cos2x=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin(2x+

π

3

)，
∵0＜x＜

π

2

，
∴

π

2

≤2x+

π

3

＜

4π

3

，
即

π

12

≤x＜

π

2

時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
∴f（x）的遞減區(qū)間為[

π

12

，

π

2

)．
（2）∵f（x）=sin(2x+

π

3

)=

3

2

，
∴x=kπ（k∈Z），或x=

π

6

+kπ(k∈Z)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間的求法，考查給值求角問題，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握二倍角公式，注意三角函數(shù)恒等式的靈活運(yùn)用．