Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₂作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為H，若F₂H的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)一漸近線方程為y=

b

a

x，則F₂H的方程為 y-0=-

a

b

（x-c），代入漸近線方程 求得H的坐標(biāo)，有中點(diǎn)公式求得中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線求得離心率．

解答：解：由題意可知，一漸近線方程為y=

b

a

x，
則F₂H的方程為 y-0=-

a

b

（x-c），代入漸近線方程y=

b

a

x可得
H的坐標(biāo)為（

a2

c

，

ab

c

），
故F₂H的中點(diǎn)M（

c+ a2 c

2

，

ab

2c

），
根據(jù)中點(diǎn)M在雙曲線C上，
∴

(c+ a2 c )2

4a2

-

a2b2

4b2c2

=1，
∴

c2

a2

=2，故

c

a

=

2

，
故答案為：

2

．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出F₂H的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．