Question

已知函數(shù)f（x）=

4(x-a)

x2+4

．
（1）當x∈[-2，2]時，求使f（x）＜a恒成立的a的取值范圍；
（2）若方程x²-2ax-1=0的兩根為α，β，證明：函數(shù)f（x）在[α，β]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由f（x）＜a得

4(x-a)

x2+4

＜a，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可，由g（x）的符號變化規(guī)律可知只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，利用單調(diào)性可求；
（2）定義法：設α≤x₁＜x₂≤β，則x12-2ax1-1≤0， x22-2ax2-1≤0，兩式相加可得(x12+x22)-2a(x1+x2)-2≤0，  ∴x1x2-a(x1+x2)-1＜0，利用作差法可證明f（x₂）＞f（x₁）；

解答：解：（1）由f（x）＜a得

4(x-a)

x2+4

＜a，即4x-4a＜ax²+4a，
∴a＞

4x

x2+8

在x∈[-2，2]時恒成立．      
設g(x)=

4x

x2+8

，
由于x=0時，g（x）=0；x∈[-2，0）時，g（x）＜0；x∈（0，2]時，g（x）＞0，
故求函數(shù)g(x)=

4x

x2+8

在x∈[-2，2]上的最大值，只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，
由g(x)=

4x

x2+8

=

4

x+ 8 x

，可證明y=x+

8

x

在x∈（0，2]上是減函數(shù)，
當x=2時y=x+

8

x

取得最小值，g（x）取得最大值為

2

3

，
∴a＞

2

3

．           
（2）設α≤x₁＜x₂≤β，則x12-2ax1-1≤0， x22-2ax2-1≤0，
∴(x12+x22)-2a(x1+x2)-2≤0，  ∴x1x2-a(x1+x2)-1＜0，
則f(x2)-f(x1)=

4(x2-a)

x22+4

-

4(x1-a)

x12+4

=

4(x2-x1)[a(x1+x2)-x1x2+4]

(x22+4)(x22+4)

，
又a（x₁+x₂）-x₁x₂+4＞a（x₁+x₂）-x₁x₂+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在區(qū)間[α，β]上是增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題、單調(diào)性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想，單調(diào)性的證明應嚴格論證，方法有定義法、導數(shù)法．