Question

已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求PC與平面ABCD所成的角的大小；
（3）求二面角P﹣EC﹣D的大小．

Answer 1

解：（1）取PC的中點H，連接FH，EH，因為E、F分別是AB、PD的中點．
所以FH∥DC，F(xiàn)H=DC，
又AB∥DC，∴FH∥AE，并且FH=AE．
∴四邊形AEHF是平行四邊形，
∴AF∥EH，
∵EH平面PEC，
AF平面PEC，
所以AF∥平面PEC；
（2）連接AC，因為PA⊥平面ABCD，
所以PC與平面ABCD所成的角的大小，就是∠PCA；
因為底面ABCD是矩形，PA=AD=1，AB=2，所以AC==，
在Rt△PAC中
∴tan∠PCA==，∠PCA=arctan．
（3）延長CE至O，使得AO⊥CE于O，連接PO，
因為PA⊥平面ABCD，所以∠POA就是二面角P﹣EC﹣D的大小，
在Rt△AOE與Rt△EBC中，易得Rt△AOE∽Rt△EBC，
所以，EC=，
所以AO===，
在Rt△PAO中，tan∠POA===，
所以所求的二面角P﹣EC﹣D的大小為：arctan．