Question

求下列函數(shù)的定義域、值域和單調區(qū)間：

⑴；⑵（且）.

Answer 1

解：⑴①原函數(shù)的定義域是；②由，得，

，∴，∴，∴原函數(shù)的值域是；

③∵，

又當，

從而；

當，

從而。

⑵①定義域為，即：；

②令，

由二次函數(shù)的圖像可知（圖像略），故原函數(shù)的值域為；

③當時，由上單調遞增，可得：原函數(shù)的單調性與u的單調性一致，∴原函數(shù)的單調增區(qū)間為（3，+∞），單調減區(qū)間為（－∞，2）；

      當時，由上單調遞減，可得：原函數(shù)的單調性與u的單調性相反，∴原函數(shù)的單調增區(qū)間為（－∞，2），單調減區(qū)間為（3，+∞）。

說明：①求復合函數(shù)的值域通過換元可轉換為求簡單函數(shù)的值域。

②求復合函數(shù)的單調區(qū)間或最值，若為增函數(shù)，則與增減性相同；若為減函數(shù)，則與的增減性相反；這一結論非常有用，稱為“外增內同，外減內反”；對數(shù)函數(shù)的單調性要注意其定義域。