Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA₁＝1.D是棱CC₁上的中點，P是AD的延長線與A₁C₁的延長線的交點.
(1)求二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值；
(2)求點C到平面B₁DP的距離．

Answer 1

（1）；（2）見解析.

本試題主要考查了立體幾何中二面角的求解和點到面的距離的綜合運用。
解：如圖，以A₁為原點，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A₁(0,0,0)，B₁(1,0,0)，C₁(0，1,0)，B(1,0,1)．D(0,1,)

設平面BA₁D的一個法向量為n₁＝(x，y，z)，
解得
取,得n₁＝(2，－1，2)．
又n₂＝(1,0,0)為平面AA₁D的一個法向量，
∴cos〈n₁·n₂〉＝＝＝.
故二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值為.
(3)∵＝(1，－2,0)，＝，
設平面B₁DP的一個法向量為n₃＝(a₁，b₁，c₁)．

令c₁＝1，可得n₃＝.
又＝，
∴C到平面B₁DP的距離d＝＝.