Question

3．設(shè)x，y∈R，$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$為直角坐標平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=2x$\overrightarrow{i}$+2y$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=4$\overrightarrow{j}$，|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=8．
（1）求動點M（x，y）的軌跡c的方程；
（2）過點（0，3）作直線l與曲線c交于A，B兩點，設(shè)$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OB}$，是否存在這樣的直線l，使四邊形OAPB是矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的表達式和|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=8的值可推斷出點M（x，y）到兩個定點F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）的距離之和為8．根據(jù)橢圓的定義判斷出其軌跡為橢圓，進而根據(jù)c和a，求得b，則橢圓方程可得；
（2）先看當直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點．根據(jù)$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，可推斷出P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．不可知直線的斜率一定存在，設(shè)出直線方程，和A，B的坐標，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，根據(jù)$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$和矩形的性質(zhì)判斷出OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求得x₁x₂+y₁y₂=0，進而求得k．

解答 （1）解：∵向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=2x$\overrightarrow{i}$+2y$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=4$\overrightarrow{j}$，可得$\overrightarrow{a}$=（x，y+2），$\overrightarrow$=（x，y-2），
由|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=8，可得$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=8，
∴點M（x，y）到兩個定點F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）的距離之和為8．
c=2，a=4，則b=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴軌跡C為以F₁、F₂為焦點的橢圓，方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）∵l過y軸上的點（0，3），
若直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點．
∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OB}$，即有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．
∴直線l的斜率存在．設(shè)l方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=kx+3，$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1消y得（4+3k²）x²+18kx-21=0．
此時，△=（18k）²+84（4+3k²）＞0恒成立
且x₁+x₂=-$\frac{18k}{4+3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{21}{4+3{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴四邊形OAPB是平行四邊形．
若存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．
∵$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，y₂），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
即（1+k²）•（-$\frac{21}{4+3{k}^{2}}$）+3k•（-$\frac{18k}{4+3{k}^{2}}$）+9=0，
即k²=$\frac{5}{16}$，得k=±$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
∴存在直線l：y=±$\frac{\sqrt{5}}{4}$x+3，使得四邊形OAPB是矩形．

點評 本題考查軌跡方程的求法，主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．突出考查了向量的坐標化等數(shù)學(xué)思想方法，