Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}項(xiàng)和為S_n，且滿足：2S_n=a_n²+a_n（n≥1，n∈N）．
（1）求a₁和a_n；
（2）設(shè)，判斷T_n與2的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)集合M=（m|m=2k，k∈N且1000≤k≤2011），若存在m₀∈M，使對(duì)滿足n＞m₀的一切正整數(shù)n，不等式恒成立，問(wèn)這樣的正整數(shù)m₀共有多少個(gè)？

Answer 1

解：（1）∵，①
當(dāng)n=1時(shí)，，
且a_n＞0，得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，，②
①-②，得，
化簡(jiǎn)得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
而a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
即{a_n}是以1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）∵a_n=n，
∴，
即，
∴
=2（1-）＜2．
∴T_n＜2．
（3）∵，
∴n＞2010，
∴m₀的最小值為2010．
由題設(shè)知M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，4022}，
∵m∈M，
∴m=2010，2012，…，4022均滿足條件．
設(shè)有k個(gè)數(shù)，則2010+2（k-1）=4022，k=1007．
故這樣的正整數(shù)m₀共有1007個(gè)．
分析：（1）由，知當(dāng)n=1時(shí)，，且a_n＞0，得a₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，，得，故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=0，a_n-a_n-1=1，故a_n=n．
（2）由a_n=n，知，故，由裂項(xiàng)求和法能夠?qū)С鯰_n＜2．
（3）由，知n＞2010，故m₀的最小值為2010．由題設(shè)知M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，4022}，由此能夠求出滿足條件的正整數(shù)m₀的個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．