Question

【題目】已知圓經(jīng)過橢圓： 的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)， ， 是橢圓上的兩點(diǎn)，它們?cè)?/span>軸兩側(cè)，且的平分線在軸上， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：直線過定點(diǎn).

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直線過定點(diǎn).

【解析】【試題分析】(I)根據(jù)圓的半徑和已知 ,故,由此求得橢圓方程.(II)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,寫出的斜率并相加,由此求得直線過定點(diǎn).

【試題解析】

（Ⅰ）圓與軸交點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸交點(diǎn)即為橢圓的上下兩頂點(diǎn)，所以， .從而，

因此橢圓的方程為： .

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為.

由，消去得.

設(shè)， ，則， .

直線的斜率 ；

直線的斜率 .

.

由的平分線在軸上，得.又因?yàn)?/span>，所以，

所以.

因此，直線過定點(diǎn).

[點(diǎn)睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關(guān)系,考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 涉及直線與橢圓的基本題型有：（1）位置關(guān)系的判斷.（2）弦長、弦中點(diǎn)問題.（3）軌跡問題.（4）定值、最值及參數(shù)范圍問題.（5）存在性問題.常用思想方法和技巧有：（1）設(shè)而不求.（2）坐標(biāo)法.（3）根與系數(shù)關(guān)系.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

【解析】【試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對(duì)分類討論求得函數(shù)在不同取值時(shí)的最大值.

【試題解析】

（Ⅰ），

設(shè) ，則.

∵， ，∴在上單調(diào)遞增，

從而得在上單調(diào)遞增，又∵，

∴當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

因此， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由此可知.

∵， ，

∴.

設(shè)，

則 .

∵當(dāng)時(shí)， ，∴在上單調(diào)遞增.

又∵，∴當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

①當(dāng)時(shí)， ，即，這時(shí)， ；

②當(dāng)時(shí)， ，即，這時(shí)， .

綜上， 在上的最大值為：當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， .

[點(diǎn)睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．