如圖，O（0，0）A（1，0）為頂點(diǎn)作△OAP1，再以P1和P1A的中B為頂點(diǎn)作△P1BP2，再P2和P2B的中C為頂點(diǎn)作△P2CP3，…，如此繼續(xù)下去．有如下結(jié)論：
①所作的正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列；
②每一個(gè)正三角形都有一個(gè)頂點(diǎn)在直線AP2x=1）上；
③第六個(gè)正三角形的不在第五個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)P6的坐標(biāo)是；
④第n個(gè)正三角形的不在第n-1個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)Pn的橫坐標(biāo)是xn，則．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是    （把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．
【答案】分析：根據(jù)O（0，0）A（1，0）為頂點(diǎn)作△OAP1，再以P1和P1A的中B為頂點(diǎn)作△P1BP2，再P2和P2B的中C為頂點(diǎn)作△P2CP3，…，如此繼續(xù)下去，根據(jù)規(guī)律可判定①②的真假，結(jié)合圖形求出點(diǎn)P6的坐標(biāo)，可判定③的真假，求出第n個(gè)正三角形的不在第n-1個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)Pn的橫坐標(biāo)xn，xn=1-，然后求極限可得結(jié)論．
解答：解：由題意可得，每一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)都是上個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的，故①正確；
根據(jù)圖形的規(guī)律可知每一個(gè)正三角形都有一個(gè)頂點(diǎn)在直線AP2x=1上，故②正確；
第六個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為，故頂點(diǎn)P6的橫坐標(biāo)為，P5的縱坐標(biāo)為--=
從而頂點(diǎn)P6的縱坐標(biāo)為+=，故③正確；
第n個(gè)正三角形的不在第n-1個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)Pn的橫坐標(biāo)是xn，xn=1-，則，故④正確．
故答案為：①②③④
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了識(shí)圖能力，將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問(wèn)題解決即可，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)（中應(yīng)用舉例）如圖，O，A，B是平面上的三點(diǎn)，向量
OA
=
a
，
OB
=
b
，設(shè)P為線段AB的垂直平分線CP上任意一點(diǎn)，向量
OP
=
p
，若|
a
|=4，|
b
|=2，則
p
•（
a
-
b
）=（　�。�
A、8B、6C、4D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）（選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，則極點(diǎn)到該直線的距離是
2
2
2
2
．
（2）（選修4-5 不等式選講）
已知lga+lgb=0，則滿足不等式
a
a2+1
+
b
b2+1
≤λ的實(shí)數(shù)λ的范圍是
[1，+∞）
[1，+∞）
．
（3）（選修4-1 幾何證明選講）
如圖，兩個(gè)等圓⊙O與⊙O′外切，過(guò)O作⊙O′的兩條切線OA，OB，A，B是切點(diǎn)，點(diǎn)C在圓O′上且不與點(diǎn)A，B重合，則∠ACB=
60°
60°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•奉賢區(qū)一模）出租車幾何學(xué)是由十九世紀(jì)的赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)立的．在出租車幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如（x，y）的有序?qū)崝?shù)對(duì)，直線還是滿足ax+by+c=0的所有（x，y）組成的圖形，角度大小的定義也和原來(lái)一樣．直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）定義它們之間的一種“距離”：|AB|=|x1-x2|+|y1-y2|，請(qǐng)解決以下問(wèn)題：
（1）求線段x+y=2（x≥0，y≥0）上一點(diǎn)M（x，y）的距離到原點(diǎn)O（0，0）的“距離”；
（2）定義：“圓”是所有到定點(diǎn)“距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，求“圓周”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)Q（a，b）的“距離”均為 r的“圓”方程；
（3）點(diǎn)A（1，3）、B（6，9），寫出線段AB的垂直平分線的軌跡方程并畫出大致圖象．（說(shuō)明所給圖形小正方形的單位是1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•孝感模擬）如圖，O（0，0）A（1，0）為頂點(diǎn)作△OAP1，再以P1和P1A的中B為頂點(diǎn)作△P1BP2，再P2和P2B的中C為頂點(diǎn)作△P2CP3，…，如此繼續(xù)下去．有如下結(jié)論：
①所作的正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成公比為
1
2
的等比數(shù)列；
②每一個(gè)正三角形都有一個(gè)頂點(diǎn)在直線AP2x=1）上；
③第六個(gè)正三角形的不在第五個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)P6的坐標(biāo)是(
63
64
，
21
64
，
3
)；
④第n個(gè)正三角形的不在第n-1個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)Pn的橫坐標(biāo)是xn，則
lim
n→∞
xn=1．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
①②③④
①②③④
（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

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