Question

1．已知函數(shù)f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x）+f′（x）-3=a有解，則實數(shù)a的取值范圍是[1+ln2，+∞）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值即可得到結(jié)論．

解答 解；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{2}{2x+1}$，函數(shù)的定義域為{x|x＞$-\frac{1}{2}$}，
則由f（x）+f′（x）-3=a得ln（2x+1）+$\frac{2}{2x+1}$-3=a，
設(shè)g（x）=ln（2x+1）+$\frac{2}{2x+1}$+3-3=ln（2x+1）+$\frac{2}{2x+1}$，
則函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x）=$\frac{2}{2x+1}$$-\frac{4}{（2x+1）^{2}}$=$\frac{2（2x-1）}{（2x+1）^{2}}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）＞0，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）＜0，
則函數(shù)g（x）的極小值同時也是最小值為g（$\frac{1}{2}$）=1+ln2，
故若方程f（x）+f′（x）-3=a有解，則a≥1+ln2，
故答案為：[1+ln2，+∞）；

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．