Question

（2011•浙江模擬）已知函數(shù)f(x)=

9x+k•3x+1

9x+3x+1

，當k=1時，對任意的實數(shù)x₁，x₂，x₃，均有f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，這樣就存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長的三角形．當k＞1時，若對任意的實數(shù)x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長的三角形，則實數(shù)k的最大值為

4

．

Answer 1

分析：對任意的實數(shù)x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長的三角形，說明|f（x₁）-f（x₂）|＜f（x₃）恒成立，從而轉(zhuǎn)化為|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于f（x₃）的最小值．根據(jù)函數(shù)f（x）的結(jié)構(gòu)特點可求出其值域，進而求得要求最值．

解答：解：當k＞1時，f（x）=

9x+k•3x+1

9x+3x+1

=1+

k-1

3x+3-x+1

，
所以f（x）的值域為（1，1+

k-1

3

]．
若對任意的實數(shù)x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長的三角形，
即|f（x₁）-f（x₂）|＜f（x₃）恒成立，
又|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于

k-1

3

，
所以

k-1

3

≤1，解得k≤4，又k＞1，所以1＜k≤4．
故答案為：4．

點評：本題考查三角形中的幾何計算，解決本題的關(guān)鍵是把三角形的存在轉(zhuǎn)化為不等式恒成立處理．