Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx和g(x)=

1

a

x-

x

，且f′（1）=g′（1）．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)a＜1時，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f′（1）=g′（1），列出關(guān)于a的方程，求出a的值，即可求得函數(shù)f（x），g（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)a＜1，確定a=

1

2

，得到f（x），g（x）的表達(dá)式，先研究g（x）=0的情況進(jìn)行求解，再研究當(dāng)g（x）≠0時，將不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，利用參變量分離轉(zhuǎn)化為m≤

f(x)

g(x)

，進(jìn)而求出[

f(x)

g(x)

]_min，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-aln x，
∴f′（x）=

2x2-a

x

，
∵g（x）=

1

a

x-

x

，
∴g′（x）=

1

a

-

1

2 x

，
由題意可得f′（1）=g′（1），即2-a=

2-a

2a

，
∴a=2或a=

1

2

，
∴當(dāng)a=2時，f（x）=x²-2ln x，g（x）=

1

2

x-

x

，
當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=x²-

1

2

ln x，g（x）=2x-

x

；
（2）a=

1

2

，f（x）=x²-

1

2

ln x，g（x）=2x-

x

，
當(dāng)x∈[

1

4

，

1

2

）時，f′（x）=2x-

1

2x

=

4x2-1

2x

＜0，
∴f（x）在[

1

4

，

1

2

]上為減函數(shù)，則f（x）≥f（

1

2

）=

1

4

+

1

2

ln 2＞0，
當(dāng)x∈[

1

4

，

1

2

）時，g′（x）=2-

1

2 x

=

4 x -1

2 x

＞0，
∴g（x）在[

1

4

，

1

2

]上為增函數(shù)，則g（x）≤g（

1

2

）=1-

2

2

，且g（x）≥g（

1

4

）=0，
要使不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
即當(dāng)x=

1

4

時，m為任意實(shí)數(shù)，
當(dāng)x∈（

1

4

，

1

2

]時，m≤

f(x)

g(x)

，
而[

f(x)

g(x)

]_min=

f( 1 2 )

g( 1 2 )

=

(2+ 2 )

4

ln（4e），
∴m≤

(2+ 2 )

4

ln（4e）．

點(diǎn)評：本題考查了利用求導(dǎo)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和單調(diào)性問題．導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的增減性．對于恒成立問題一般選用參變量分離法轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，在參變量分離時要注意是否進(jìn)行分類討論．屬于中檔題．