Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-x2+ax-a(a∈R)
（1）當a=-3時，求函數f（x）的極值；
（2）求證：當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．

Answer 1

分析：（1）由a=-3得到f（x）的解析式，求出導函數等于0時x的值，討論函數的增減性得到函數的極值；
（2）當a≥1時，可以得到f′（x）≥0在R上恒成立，進而得到函數遞增，再根據零點判定定理即可得到證明．

解答：解：∵f(x)=

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3

x3-x2+ax-a(a∈R)
∴f′（x）=x²-2x+a；
（1）當a=-3時，f（x）=

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3

x³-x²-3x+3
故f'（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）；
所以：當x≥3或x≤-1時，f'（x）≥0，f（x）遞增；
當-1＜x＜3時，f'（x）＜0，f（x）遞減．
∴x=-1，f（x）有極大值f（-1）=

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3

；
當x=3時，f（x）有極小值f（3）=-6．
（2）∵f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1；
當a≥1時，f′（x）≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上單調遞增．
∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值問題，求函數的單調區(qū)間實質是解不等式，導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．屬中檔題．