Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有等式f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．給出如下結(jié)論：
①f（0）=0；
②f（x）是R上的增函數(shù)
③f（x）在R上不具有單調(diào)性；
④f（x）是奇函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)性質(zhì)f（x+y）=f（x）+f（y）成立與當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，代入特值0驗(yàn)證①；
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義，構(gòu)造x₁＜x_2，證明f（x₂）-f（x₁）與0的大小驗(yàn)證②③；
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義構(gòu)造f（-x）驗(yàn)證是否=-f（x）驗(yàn)證④．
解答：解：令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，∴①√；
∵f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x），令x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），∴②√；
由②正確，∴③×；
∵x∈R，f（-x）=-f（x），∴④√；
故答案是①②④
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，要注意抽象函數(shù)的性質(zhì)證明要緊扣定義．