Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）當a=2時，求y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先求出f（x）的導數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，因為在函數(shù)式中含字母系數(shù)a，要對a分類討論．

解答：解：f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

（x＞0）
（1）當a=2時，y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率是k=-1，而f（1）=1
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y-1=-1（x-1），即x+y-3=0；
（2）令f′（x）=0，解得x=a
①當a≤0時，f′（x）=

x-a

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
②當a＞0時，令f′（x）=

x-a

x

＞0，則x＞a，
故在區(qū)間（a，+∞）內(nèi)f′（x）＞0，在區(qū)間（0，a）內(nèi)f′（x）＜0．
∴當a＞0時，f（x）在（a，+∞）上為增函數(shù)，在（0，a）上為減函數(shù)；
當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．