設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x=1對稱,對任意x1、x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.
(1)求f()、f();
(2)證明f(x)是周期函數(shù);
(3)記an=f(2n+),求
(1) f()=a, f()=a (2) 證明略(3)
(1)因?yàn)閷?i>x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=, x∈[0,1]
又因?yàn)?i>f(1)=f(+)=f()·f()=[f()]2
f()=f(+)=f()·f()=[f()]2
又f(1)=a>0
∴f()=a, f()=a
(2)證明:依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱,故f(x)=f(1+1-x),
即 f(x)=f(2-x),x∈R.
又由f(x)是偶函數(shù)知 f(-x)=f(x),x∈R
∴f(-x)=f(2-x),x∈R.
將上式中-x以x代換得f(x)=f(x+2),這表明f(x)是R上的周期函數(shù),且2是它的一個(gè)周期.
(3)由(1)知f(x)≥0,x∈[0,1]
∵f()=f(n·)=f(+(n-1) )=f()·f((n-1)·)=……
=f()·f()·……·f()
=[f()]n=a
∴f()=a.
又∵f(x)的一個(gè)周期是2
∴f(2n+)=f(),
∴an=f(2n+)=f()=a.
因此an=a
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(01全國卷理)(14分)
設(shè)f (x) 是定義在R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x = 1對稱.對任意x1,x2∈[0,]都有f (x1+x2) = f (x1) ? f (x2).且f (1) = a>0.
(Ⅰ)求f () 及f ();
(Ⅱ)證明f (x) 是周期函數(shù);
(Ⅲ)記an = f (2n+),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)當(dāng)f(x)=1時(shí),求g(x);
(2)當(dāng)f(x)=x時(shí),求g(x).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
A. B.- C. D.-
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練7練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,則a+3b的值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年寧夏高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型:選擇題
設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對x∈R,都有f(x+4)=f(x),且當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=()x-1,若在區(qū)間(-2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是
A.(1,2) B. (2,+∞) C. (1,) D. (,2)
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