Question

8．在拋物線y²=2x上求一點P，使其到直線l：x+y+4=0的距離最小，并求最小距離．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y）為該拋物線上任一點，利用點到直線間的距離公式可求得點P到直線x+y+4=0的距離d的關(guān)系式，并求得d_min．

解答 解：設(shè)P（x，y）為該拋物線上任一點，那么y²=2x，
則點P到直線的距離d=$\frac{|x+y+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{1}{2}{y}^{2}+y+4|}{\sqrt{2}}$
=$\frac{|（y+1）^{2}+7|}{2\sqrt{2}}$≥$\frac{7}{2\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)y=-1時，取“=”．
此時點P（$\frac{1}{2}$，-1）．
即拋物線上的點P的坐標(biāo)為P（$\frac{1}{2}$，-1）時，
點P到直線x+y+4=0的距離最短，最小值為$\frac{7\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查點到直線間的距離公式與兩點間的距離公式，屬于中檔題．