Question

已知函數(shù)f（x）=3^-x，等比數(shù)列a_n的前n項和為f（n）-c，正項數(shù)列b_n的首項為c，且前n項和S_n滿足Sn-

Sn

=Sn-1+

Sn-1

，(n≥2)
（1）求c，并求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{bn(1-

1

2

an)}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（1）由等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c求出數(shù)列{a_n}的公比和首項，得到數(shù)列{a_n}的通項公式；由數(shù)列{b_n}的前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

可得到數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個首項為1公差為1的等差數(shù)列，進而得到數(shù)列{

Sn

}的通項公式，再由b_n=S_n-S_n-1可確定{b_n}的通項公式．
（2）首先寫出數(shù)列{bn(1-

1

2

an)}的通項公式，然后利用錯位相減的方法求數(shù)列前n項和．

解答：解：（1）∵等比數(shù)列a_n的前n項和為f（n）-c，
∴a₁=f（1）-c=

1

3

-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

又數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，
a1=

a 2 2

a3

=-

2

3

，
∵a₁=

1

3

-c
∴-

2

3

=

1

3

-c，∴c=1
又公比q=

a2

a1

=

1

3

所以a_n=-

2

3

•(

1

3

)n-1，n∈N；
∵S_n-S_n-1=(

Sn-Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個首項為1公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
當n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1適合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（2）由（1）知bn(1-

1

2

an)=（2n-1）+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ
設(shè)（2n-1）•（

1

3

）ⁿ前n項和為Q_n   設(shè)數(shù)列2n-1的前n項和為S_n
Q_n=

1

3

+3×（

1

3

）²+5×（

1

3

）³+…+（2n-3）•（

1

3

）^n-1+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ     ①

1

3

Q_n=（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+5×（

1

3

）⁴+…+（2n-3）•（

1

3

）ⁿ+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ⁺¹  ②
①-②得：

2

3

QN=

1

3

+2[(

1

3

)2+(

1

3

)3+(

1

3

)4++(

1

3

)n]-(2n-1)(

1

3

)n+1=

2

3

-(2n+2)(

1

3

)n+1
∴Q_n=1-（n+1）（

1

3

）ⁿ
∴S_n=n²
∴T_n=S_n⁺Q_n=n²+1-（n+1）（

1

3

^）n

點評：本題主要考查數(shù)列遞推式和數(shù)列求和的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)及其求和公式，此題還要熟練掌握錯位相減法在數(shù)列求和中的應用，此題有一定的難度．