已知函數(shù)f(x)=2sin2x(
π
4
-x)-
3
(sin2x-cos2x).
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若f(x)<m+2,在x∈[0,
π
6
]上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)利用二倍角的正弦與余弦公式可將f(x)=2sin2
π
4
-x)-
3
(sin2x-cos2x)轉(zhuǎn)化為f(x)=1+2cos(2x+
π
6
),從而可求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)依題意,g(x)=2cos(2x+
π
6
)-1,只需只需滿足m>g(x)max(x∈[0,
π
6
])即可,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可求得g(x)max,從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)=2sin2
π
4
-x)-
3
(sin2x-cos2x)
=1-cos(
π
2
-2x)+
3
cos2x
=1+2cos(2x+
π
6
),
∴f(x)的最小正周期T=
2
=π;
由2kπ≤2x+
π
6
≤2kπ+π,k∈Z得,kπ-
π
12
≤x≤kπ+
12
,k∈Z
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-
π
12
,kπ+
12
](k∈Z).
(2)∵f(x)=1+2cos(2x+
π
6
),
∴由f(x)<m+2在x∈[0,
π
6
]上恒成立,
∴m>2cos(2x+
π
6
)-1在x∈[0,
π
6
]上恒成立,
令g(x)=2cos(2x+
π
6
)-1,
只需滿足m>g(x)max(x∈[0,
π
6
])即可.
∵0≤x≤
π
6

π
6
≤2x+
π
6
π
2
,
∵y=cosx在[
π
6
π
2
]上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)2x+
π
6
=
π
6
,即x=0時(shí),g(x)max=g(0)=
3
-1.
∴m>
3
-1.
∴m的取值范圍為(
3
-1,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)關(guān)系的恒等變換及應(yīng)用,著重考查余弦函數(shù)的單調(diào)性與周期,考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.
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1
x
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