Question

已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以A（

2

，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）是否存在過(guò)A點(diǎn)的一條直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，且線(xiàn)段MN被直線(xiàn)x=-1平分．如果存在，求出直線(xiàn)的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先確定雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以A（

2

，0）為圓心，1為半徑的圓相切，求得漸近線(xiàn)方程，從而求出雙曲線(xiàn)的方程；
（2）先假設(shè)存在，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用線(xiàn)段MN被直線(xiàn)x=-1平分，求參數(shù)的值，再進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）由題意得，∵雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)
∴頂點(diǎn)A'（0，

2

）
設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y=kx
∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以A（

2

，0）為圓心，1為半徑的圓相切
∴k=1
∴雙曲線(xiàn)的方程為

y2

2

-

x2

2

=1
（2）設(shè)過(guò)A點(diǎn)的一條直線(xiàn)方程為y=m(x-

2

)，
代入雙曲線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)得(m2-1)x2-2

2

m2x+2m2-2=0
由題意，

2 2 m2

m2-1

=-1，即m=±

2 2 -1 7

經(jīng)驗(yàn)證，滿(mǎn)足題意
∴直線(xiàn)方程為y=±

2 2 -1 7

(x-

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，主要考查雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，關(guān)鍵是合理運(yùn)用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，對(duì)于是否存在性問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為封閉型問(wèn)題求解．