Question

將半徑為72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下扇環(huán)ABCD的面積為648πcm²，圍成圓臺后，其上、下底半徑之差為6cm，求該圓臺的體積．

Answer 1

解：根據(jù)題意，設(shè)扇形的圓心角是α弧度，扇形OCD的半徑為R₁，
扇形OAB的半徑為R₂=72，圓臺上底面半徑為r₁，下底面半徑為r₂，圓臺高為h，
∵扇形OAB的面積S₂=αR₂²=α•72²，扇形OCD的面積S₁=αR₁²
∴S₂-S₁=α（72²-R₁²）=648πcm²，可得α（72+R₁）（72-R₁）=648πcm²…（1）
∵弧AB=αR₂=72α=2π•r₂，弧CD=αR₁=2πr₁，r₂-r₁=6
∴r₂=，r₁=，可得=6，整理得α（72-R₁）=6π…（2）
將（2）代入（1），得6π•（72+R₁）=648πcm²，解得R₁=36cm
代入（2），得α=，
從而得到r₁=6，r₂=12，圓臺母線長為R₂-R₁=72-36=36
∴圓臺高h(yuǎn)==6
根據(jù)圓臺體積公式，得圓臺的體積為
V=（r₁²+r₁r₂+r₂²）=×6（6²+6×12+12²）=504πcm²．
分析：設(shè)扇形的圓心角是α弧度，扇形OCD的半徑為R₁，圓臺上底面半徑為r₁，下底面半徑為r₂，高為h．根據(jù)弧長公式和扇形面積公式得到關(guān)于α和R₁的方程組，解之可得α=且R₁=36cm，由此算出r₁、r₂和圓臺的高h(yuǎn)，結(jié)合圓臺體積公式即可算出該圓臺的體積．
點(diǎn)評：本題給出圓側(cè)面展開的扇環(huán)的數(shù)據(jù)，求圓臺的體積．著重考查了弧長公式、扇形面積公式和圓臺的側(cè)面積、體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．