Question

直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：＋y²＝1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形．

Answer 1

(1)因?yàn)樗倪呅?i>OABC為菱形，

所以AC與OB相互垂直平分．

所以可設(shè)A(t，)，代入橢圓方程得＋＝1，

即t＝±.

所以|AC|＝2.

(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形．

因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且AC⊥OB，所以k≠0.

由消y并整理得

(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.

設(shè)A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，則

所以AC的中點(diǎn)為M．

因?yàn)?i>M為AC和OB的交點(diǎn)，且m≠0，k≠0，

所以直線OB的斜率為－.

因?yàn)?i>k·(－)≠－1，所以AC與OB不垂直．

所以OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾．

所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形．