Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，直線l過點A（4，0）且與拋物線交于P，Q兩點．并設(shè)以弦PQ為直徑的圓恒過原點．
（Ⅰ）求焦點坐標(biāo)；
（Ⅱ）若+=，試求動點R的軌跡方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)直線l方程為x=ky+4，代入y²=2px得y²-2kpy-8p=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有y₁+y₂=2kp，y₁y₂=-8p
而，
故0=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+4）（ky₂+4）-8p=k²y₁y₂+4k（y₁+y₂）+16-8p
即0=-8k² p+8k²p+16-8p，得p=2，焦點F（1，0）．
（Ⅱ）設(shè)R（x，y），由
得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₃）=（x-1，y）
所以x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y
而y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
可得y（y₁-y₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
又FR的中點坐標(biāo)為，
當(dāng)x₁≠x₂時，利用k_PQ=k_MA有
整理得，y²=4x-28．
當(dāng)x₁=x₂時，R的坐標(biāo)為（7，0），也滿足y²=4x-28．
所以y²=4x-28即為動點R的軌跡方程．
分析：（Ⅰ）設(shè)出直線l的方程代入拋物線的方程消去x，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，利用，求得0=x₁x₂+y₁y₂，求得p，則焦點坐標(biāo)可得．
（Ⅱ）設(shè)出R，利用求得x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y，進(jìn)而根據(jù)y₁²=4x₁，y₂²=4x₂和FR中點坐標(biāo)，利用k_PQ=k_MA求得x和y的關(guān)系式，當(dāng)x₁=x₂時，R的坐標(biāo)為（7，0），也滿足y²=4x-28，進(jìn)而推斷出y²=4x-28即為動點R的軌跡方程．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合運用基礎(chǔ)知識解決問題的能力．