如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，已知∠ABC＝，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，M、N分別為B1C1，和AC的中點(diǎn)．

(1)

求異面直線至AB1與BC1所成的角的大小

(2)

求MN的長

(3)

求MN與底面ABC所成的角的大小

答案：
解析：

(1)

　　解析：方法一　以B為原點(diǎn)，BA、BC、BB1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

　　由題設(shè)知，A、B1、C1的坐標(biāo)為(a，0，0)、(0，0，c)、(0，b，c)，則=(－a，0，c)，=(0，b，c)，

　　得cos＜·＞==

　　　　　　　　　　　 =．

　　方法二　分別取BB1、AB、B1C1的中點(diǎn)D、E、F，連結(jié)DE、DF、EF，則DF∥BC1，DE∥AB1．

　　∴∠EDF就是異面直線AB1與BC1所成的角(或補(bǔ)角)．

　　在△DEF中，DE=，DF=，EF=，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 cos∠EDF=

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =

　　∴異面直線AB1與BC1所成的角為arccos．

(2)

　　方法一　由M、N分別是B1C1、AC的中點(diǎn)，得M(0，，c)、N(，，0)，

　�。�｜=

　　　　　 =．

　　方法二　取BC中點(diǎn)P，連結(jié)MP、NP．由直三棱柱的性質(zhì)得△MNP為直角三角形，

　　∴MN===．

(3)

　　方法一　過點(diǎn)M作MP⊥BC于點(diǎn)P，則P為BC的中點(diǎn)，連結(jié)PN，則∠MNP為MN與底面ABC所成的角．=(，0，－c)，P(0，，0)，=(，0，0)，

　　cos〈，〉=

　　　　　　　　　 =

　　　　　　　　　 =

　　∴MN與底面ABC所成的角為arccos．

　　方法二　由(2)可知，∠MNP就是MN與底面△ABC所成的角，cos∠MNP==∴MN與底面△ABC所成的角為arccs．

　　點(diǎn)評：求異面直線所成角和兩點(diǎn)間距離時，用向量法往往更簡單．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為a，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求異面直線AB1與BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，則
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分別是A'B'、A'A的中點(diǎn)．
（1）求證：A'B⊥C'M；
（2）求異面直線BA'與CB'所成交的大��；
（3）（理）求BN與平面CNB'所稱的角的大小；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

（1）求證：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱錐B1—A1BC的體積；

（4）求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1與BC1所成的角;

(3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.

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