如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1,已知∠ABC=,AB=a,BC=b,BB1=c,M、N分別為B1C1,和AC的中點(diǎn).

(1)

求異面直線至AB1與BC1所成的角的大小

(2)

求MN的長

(3)

求MN與底面ABC所成的角的大小

答案:
解析:

(1)

  解析:方法一 以B為原點(diǎn),BA、BC、BB1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

  由題設(shè)知,A、B1、C1的坐標(biāo)為(a,0,0)、(0,0,c)、(0,b,c),則=(-a,0,c),=(0,b,c),

  得cos<·>==

            =

  方法二 分別取BB1、AB、B1C1的中點(diǎn)D、E、F,連結(jié)DE、DF、EF,則DF∥BC1,DE∥AB1

  ∴∠EDF就是異面直線AB1與BC1所成的角(或補(bǔ)角).

  在△DEF中,DE=,DF=,EF=

                     cos∠EDF=

                         =

  ∴異面直線AB1與BC1所成的角為arccos

(2)

  方法一 由M、N分別是B1C1、AC的中點(diǎn),得M(0,,c)、N(,,0),

 。|=

      =

  方法二 取BC中點(diǎn)P,連結(jié)MP、NP.由直三棱柱的性質(zhì)得△MNP為直角三角形,

  ∴MN===

(3)

  方法一 過點(diǎn)M作MP⊥BC于點(diǎn)P,則P為BC的中點(diǎn),連結(jié)PN,則∠MNP為MN與底面ABC所成的角.=(,0,-c),P(0,,0),=(,0,0),

  cos〈,〉=

          =

          =

  ∴MN與底面ABC所成的角為arccos

  方法二 由(2)可知,∠MNP就是MN與底面△ABC所成的角,cos∠MNP==∴MN與底面△ABC所成的角為arccs

  點(diǎn)評:求異面直線所成角和兩點(diǎn)間距離時,用向量法往往更簡單.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為a,D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn).
(1)求證:平面AB1D⊥平面ABB1A1;
(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值;
(3)求平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分別為AA1,B1C的中點(diǎn),若記
AB
=
a
,
AC
=
b
,
AA
=
c
,則
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
(用
a
,
b
,
c
表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BCA=90°,CA=CB=1,AA'=2,M,N分別是A'B'、A'A的中點(diǎn).
(1)求證:A'B⊥C'M;
(2)求異面直線BA'與CB'所成交的大;
(3)(理)求BN與平面CNB'所稱的角的大小;
(4)(理)求二面角A-BN-C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點(diǎn)DAB的中點(diǎn).

(1)求證:CD⊥平面ABB1A1;

(2)求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

(3)求三棱錐B1A1BC的體積;

(4)求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1BC1所成的角;

(3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.

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