Question

如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，BA=BC=2，·=0，異面直線A₁B與AC成60°的角，點O、E分別是棱AC和BB₁的中點，點F是棱B₁C₁上的動點.

（1）證明：A₁E⊥OF；

（2）求點E到面AB₁C的距離；

（3）求二面角B₁—A₁C—C₁的大小.

Answer 1

解：（1）設棱柱的高為h，以B為坐標原點，以BA、BC、BB₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），C（0，2，0），O（1，1，0），A₁（2，0，h），

∴=(2,0,h)，=（2，-2，0），

∴cos(,)=,

即cos60°=,

解得h=2.

∴E(0,0,1),A₁(2,0,2),

∴=(-2,0,-1).

∵F是B₁C₁上的動點，

∴設F（0，y，2），

∴=（-1，y-1，2），

∴·=（-2，0，-1）·（-1，y-1，2）=0，

∴⊥，即A₁E⊥OF.

（2）易求面AB₁C的法向量為n=(1,1,1)，=（2，0，-1），

所以E到面AB₁C的距離為

d=.

（3）∵平面A₁CC₁的一個法向量是=（1，1，0）.

設平面A₁B₁C的一個法向量是

n=(x,y,z),=(-2,2,-2)

=(-2,0,0),

則n·=(x,y,z)·(-2,2,-2)

=-2x+2y-2z=0,①

n·=(x,y,z)·(-2,0,0)

=-2x=0,∴x=0.②

代入①并令z=1得y=1,∴n=(0,1,1),

∴cos(n，)=，

∴(n，)=60°，

即二面角B₁-A₁C-C₁的大小為60°.