Question

已知λ∈R，函數(shù)f（x）=

|x+1|，x＜0 lgx，x＞0

，g（x）=x²-4x+1+2λ，若關(guān)于x的方程f（g（x））=λ有6個(gè)解，則λ的取值范圍為（　�。�

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、（0，

  2

  3

  ）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令g（x）=t，畫(huà)出y=f（t）與y=λ的圖象，則方程f（t）=λ的解有3個(gè)，由圖象可得，0＜λ＜1．且三個(gè)解分別為t₁=-1-λ，t₂=-1+λ，t₃=10^λ再由g（x）=t，應(yīng)用判別式大于0，分別求解，最后求交集即可．

解答： 解：令g（x）=t，則方程f（t）=λ的解有3個(gè)，由圖象可得，0＜λ＜1．
且三個(gè)解分別為t₁=-1-λ，t₂=-1+λ，t₃=10^λ，
則x²-4x+1+2λ=-1-λ，x²-4x+1+2λ=-1+λ，
x²-4x+1+2λ=10^λ，均有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
則△₁＞0，且△₂＞0，且△₃＞0，
即16-4（2+3λ）＞0且16-4（2+λ）＞0，解得0＜λ＜

2

3

，
當(dāng)0＜λ＜

2

3

時(shí)，△₃=16-4（1+2λ-10^λ）＞0即3-2λ+10^λ＞0恒成立，
故λ的取值范圍為（0，

2

3

）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，由二次方程的判別式得到解決，本題有一定的難度．