Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，點(diǎn)P（1，f（1））在函數(shù)y=f（x）的圖象上，過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=﹣2時(shí)有極值，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式f（x）≥m在區(qū)間[﹣2，1]上恒成立，若存在，試求出m的最大值，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²+2ax+b
∵y=f（x）在x=﹣2時(shí)有極值，
∴x=﹣2是方程f′（x）=3x²+2ax+b=0的根，
∴14﹣4a+b=0①
又切線(xiàn)的斜率，即f′（x）在x=1時(shí)的值，
∴3+2a+b=3②
∵點(diǎn)P既在函數(shù)y=f（x）的圖象上，又在切線(xiàn)y=3x+1上，
∴f（1）=4=1+a+b+c③，
由 ①②③解得a=2，b=﹣4，c=5，
故f（x）=x³+2x²﹣4x+5
（2）在（1）的條件下，f（x）=x³+2x²﹣4x+5
由f'（x）=3x²+4x﹣4=0得函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)是．
函數(shù)的兩個(gè)極值為
函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值分別為f（﹣2）=13，f（1）=4．
比較極值與端點(diǎn)的函數(shù)值，知在區(qū)間[﹣2，1]上，函數(shù)f（x）的最小值為．
不等式f（x）≥m在區(qū)間[﹣2，1]上恒成立，只需，不等式f（x）≥m恒成立．
此時(shí)m的最大值為．