Question

為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2013年進(jìn)行技術(shù)改革，經(jīng)調(diào)查測算，產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬件與投入技術(shù)改革費用m萬元（m≥0）滿足x=3-

k

m+1

（k為常數(shù)）．如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬件．已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元．由于市場行情較好，廠家生產(chǎn)均能銷售出去，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍（生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金）
（1）試確定k的值，并將2013年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為技術(shù)改革費用m萬元的函數(shù)（利潤=銷售金額-生產(chǎn)成本-技術(shù)改革費用）；
（2）該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤．

Answer 1

（1）由題意可知，當(dāng)m=0時，x=1（萬件）∴1=3-k，∴k=2，∴x=3-

2

m+1

∴每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×

8+16x

x

（元），
∴2010年的利潤y=x•（1.5×

8+16x

x

）-（8+16x）-m=28-m-

16

m+1

（m≥0）；
（2）∵m≥0，∴y=28-m-28-m-

16

m+1

=29-[（m+1）+

16

m+1

]≤29-2

16

=21
當(dāng)且僅當(dāng)m+1=

16

m+1

，即m=3時，y_max=21．
∴該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元．