Question

18．若a≥0，試討論函數(shù)g（x）=lnx+ax²-（2a+1）x在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后對(duì)a分類(lèi)分析導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)，得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$．
∵函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴當(dāng)a=0時(shí)，$g'（x）=-\frac{x-1}{x}$，
由g'（x）＞0，得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1．
即函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，令g'（x）=0，得x=1或$x=\frac{1}{2a}$．
若$\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，
由g'（x）＞0，得x＞1或$0＜x＜\frac{1}{2a}$，由g'（x）＜0，得$\frac{1}{2a}＜x＜1$．
即函數(shù)g（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$，（1，+∞）上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{2a}，1）$單調(diào)遞減；
若$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，
由g'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{2a}$或0＜x＜1，由g'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{1}{2a}$．
即函數(shù)g（x）在（0，1），$（\frac{1}{2a}，+∞）$上單調(diào)遞增，在$（1，\frac{1}{2a}）$單調(diào)遞減；
若$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$時(shí)，在（0，+∞）上恒有g(shù)'（x）≥0．
即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述：
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
在$（1，\frac{1}{2a}）$單調(diào)遞減；在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上單調(diào)遞增；
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上單調(diào)遞增，
在$（\frac{1}{2a}，1）$單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．