Question

【題目】已知函數，是的一個極值點

（1）求實數的值，并證明：當時，恒成立；

（2）若函數，試討論函數的零點個數

Answer 1

【答案】（1）2；證明見解析（2）時，0個；時，1個；時，2個

【解析】

（1）求得函數的導數，由題意可得（1），解方程可得的值，求得的導數，可得單調性和極值點，考慮極小值大于0，即可得證；

（2）由方程分離參數得，轉化為研究函數的單調性和極值，利用函數大致圖象求與交點即可.

（1）函數的定義域為，

的導數為，

因為是的一個極值點，

所以（1），

解得；

故，，

令，解得．

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增．

又當時，；當時，，

所以當時，取得極小值，

因為（1），所以當時，恒成立．

（2）令，得，即

整理得，

顯然，分離參數得

記

則

記則恒成立，

所以函數在上單調遞增，

又，

所以當時，即所以函數單調遞減；

當時，，即，所以函數單調遞增.

又當時，；當時，,

所以的最小值為.

函教的零點個數，即為函數和函數的圖象的交點個數，

所以當時，兩函數圖象沒有交點，函數有一個零點；

當時，兩函數圖象有兩個交點，函數有兩個零點.