Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），記函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），
（1）判斷函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若函數(shù)|F（x）|在[0，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若a＞0，設(shè)F（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)F（x）的表達(dá)式，根據(jù)判別式即可判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)|F（x）|在[0，1]上是減函數(shù)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）根據(jù)函數(shù)F（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a），討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，即可求出g（a）．的表達(dá)式

解答：解：（1）∵f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），
∴函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3．
則判別式△=a²-4（-3）=a²+12＞0，
∴函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3．
∴|F（x）|=|x²-ax-3|=

x2-ax-3，F(xiàn)(x)≥0 -x2+ax+3，F(xiàn)(x)＜0

，
當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象為：，
當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象為：，
∴要使函數(shù)|F（x）|在[0，1]上是減函數(shù)，
則

a≤0 F(1)≤0

，解得-2≤a≤0．
（3）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3=（x-

a

2

）²-

a2

4

-3，
∴對(duì)稱軸x=

a

2

，
①若

a

2

≤1，即0＜a≤2時(shí)，函數(shù)F（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴F（x）最小值為g（a）=F（1）=-2-a．
②若

a

2

≥2，即a≥4時(shí)，函數(shù)F（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴F（x）最小值為g（a）=F（2）=1-a．
③若1＜

a

2

＜2，即2＜a＜4時(shí)，函數(shù)F（x）在[1，2]上不單調(diào)，∴函數(shù)F（x）最小值為g（a）=F（

a

2

）=-

a2

4

-3．
綜上：g（a）=

-2-a，0＜a≤2 - a2 4 -3， 2＜a＜4 1-a，a≥4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用配方法得到二次函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸和單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．