Question

（2004•廣州一模）已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若x＞-1，證明：1-

1

x+1

≤ln(x+1)≤x．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）．f'（x）=-

x

x+1

，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（-1，0）時，f'（x）＞0，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f'（x）＜0，故ln（x+1）-x≤0，ln（x+1）≤x．令g(x)=ln(x+1)+

1

x+1

-1，則g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

．由此能夠證明當(dāng)x＞-1時，1-

1

x+1

≤ln(x+1)≤x．

解答：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）．
f'（x）=

1

x+1

-1=-

x

x+1

…（2分）
由f'（x）＜0及x＞-1，得x＞0．
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）是減函數(shù)，
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．…4
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，
當(dāng)x∈（-1，0）時，f'（x）＞0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f'（x）＜0，
因此，當(dāng)x＞-1時，f（x）≤f（0），
即ln（x+1）-x≤0，
∴l(xiāng)n（x+1）≤x．…（6分）
令g(x)=ln(x+1)+

1

x+1

-1，
則g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

．…（8分）
∴當(dāng)x∈（-1，0）時，g'（x）＜0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0．…10
∴當(dāng)x＞-1時，g（x）≥g（0），
即 ln(x+1)+

1

x+1

-1≥0，
∴ln(x+1)≥1-

1

x+1

．
綜上可知，當(dāng)x＞-1時，
有1-

1

x+1

≤ln(x+1)≤x．…（12分）

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．