Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，

sn

n

）（n∈N⁺）在函數(shù)y=-x+12的圖象上．
（1）寫出S_n關(guān)于n的函數(shù)表達式；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點（n，

sn

n

）（n∈N*）均在函數(shù)y=-x+12的圖象上，則點的坐標適合方程，代入方程即可求出S_n關(guān)于n的函數(shù)表達式；
（2）當n≥2時，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求出通項，驗證首項即可證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

解答：解 （1）由題設得，

sn

n

=-n+12，
即S_n=n（-n+12）=-n²+12n．
（2）當n=1時，a_n=a₁=S₁=11；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+12n）-（-（n-1）²+12（n-1））=-2n+13；
由于此時-2×1+13=11=a₁，
從而數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=-2n+13．
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，以及等差數(shù)列的通項公式和等差關(guān)系的確定，屬于中檔題．