Question

已知函數f(x)=2

3

sinωxcosωx-2cos2ωx+1(x∈R，ω＞0)的周期為π．
（Ⅰ）利用五點作圖法作出y=f（x）在x∈[0，π]一個周期上的圖象；
（Ⅱ）當θ∈[0，

π

2

]時，若f（θ）=1，求θ值．

Answer 1

分析：（1）通過二倍角公式以及兩角差的正弦函數化簡函數為 一個角的一個三角函數的形式，直接利用函數的周期，求解函數的解析式，然后列表，畫出函數的圖象．
（2）利用函數的解析式通過f（θ）=1，以及θ的范圍，直接求出θ的值．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sinωxcosωx-2cos2ωx+1
=

3

sin2ωx-cosωx
=2sin（2ωx-

π

6

）．
∵T=

2π

|2ω|

=π，ω＞0，
∴ω=1．
∴f（x）2sin（2x-

π

6

）．
列表

函數的圖象為：


（2）∵2sin（2θ-

π

6

）=1，
∴2sin（2θ-

π

6

）=

1

2

，
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴2θ-

π

6

∈[-

π

6

， 

5π

6

]
∴2θ-

π

6

=

π

6

，或2θ-

π

6

=

5π

6

∴θ=

π

6

或θ=

π

2

．

點評：本題考查五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，三角函數的化簡求值，正弦函數的定義域和值域，考查作圖能力，計算能力．