Question

已知函數(shù)f（x）=|ax-2|+blnx（x＞0，實(shí)數(shù)a，b為常數(shù)）．
（1）若a=1，f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若a≥2，b=1，求方程在（0，1]上解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，每一段用導(dǎo)數(shù)法研究，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，則導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立，最后每一段的結(jié)果取交集．
（2）先構(gòu)造g（x）=|ax-2|+lnx-，即g（x）=，每一段再用導(dǎo)數(shù)法研究．
解答：解：（1）
①當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）=-x+2+blnx，f′（x）=-1+．
由條件，得≥0恒成立，即b≥x恒成立．
∴b≥2
②當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x-2+blnx，f'（x）=1+．
由條件，得≥0恒成立，即b≥-x恒成立
∴b≥-2
∵f（x）的圖象在（0，+∞）不間斷，
綜合①，②得b的取值范圍是b≥2．
（2）令，即
當(dāng)時(shí)，，，
∵，∴，則
即g'（x）＞0，∴g（x）在上是單調(diào)增函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，，
∴g（x）在上是單調(diào)增函數(shù)．
∵g（x）的圖象在（0，+∞）上不間斷，
∴g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
∵，而a≥2，∴，則．g（1）=|a-2|-1=a-3
①當(dāng)a≥3時(shí)，
∵g（1）≥0
，∴g（x）=0在（0，1]上有惟一解．
即方程解的個(gè)數(shù)為1個(gè)．
②當(dāng)2≤a＜3時(shí)，
∵g（1）＜0，
∴g（x）=0在（0，1]上無(wú)解．
即方程解的個(gè)數(shù)為0個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，一般來(lái)講，給出解析式的，解決的方法往往是基本函數(shù)法或?qū)��?shù)法，抽象函數(shù)的單調(diào)性和最值，往往用單調(diào)性的定義解決．