已知A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，且向量a=cos
A-B
2
i+
5
2
sin
A+B
2
j的長度為|a|=
3
2
4
，其中i，j分別是x軸，y軸上的單位向量．
（1）求證：tanA•tanB是定值；
（2）求tan（A+B）的最小值．
（1）由題意i2=1，j2=1，i•j=0，
則|a|2=i2cos2
A-B
2
+
5
4
j2sin2
A+B
2
+
2
i•jcos
A-B
2
sin
A+B
2

=cos2
A-B
2
+
5
4
sin2
A+B
2

=
1+cos(A-B)
2
+
5
4
•
1-cos(A+B)
2

而|a|=
3
2
4
，則
1+cos(A-B)
2
+
5
4
•
1-cos(A+B)
2
=
9
8

即4cos（A-B）=5cos（A+B），
4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，cosAcosB=9sinAsinB，
sinAsinB
cosAcosB
=
1
9
，即tanAtanB=
1
9
．
（2）由tanAtanB=
1
9
＞0，且A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，
知tanA＞0，tanB＞0，
則tan(A+B)=
tanA+tanB
1-tanAtanB
=
tanA+tanB
1-
1
9

=
9
8
(tanA+tanB)≥
9
8
×2
tanAtanB
=
9
8
×2×
1
9
=
3
4
，
當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=
1
3
時，tan（A+B）的最小值為
3
4
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

3、已知a，b，c是三條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，向量
OA
、
OB
、
OC
滿足
OA
-（y+1-lnx）
OB
+
1-x
ax
OC
=
o
，（O不在直線l上a＞0）
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，∞]上為增函數(shù)，求a的范圍；
（3）當(dāng)a=1時，求證lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
，對n≥2的正整數(shù)n成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c是直角三角形的三邊，其中c為斜邊，若實(shí)數(shù)M使不等式
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
M
a+b+c
恒成立，則實(shí)數(shù)M的最大值是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

已知A、B、C是銳角△ABC的三個內(nèi)角，內(nèi)量p＝(1+sinA，1+cosA)，q＝(1+sinB，-1-cosB)，則p與q的夾角是


  1. A.
    銳角
  2. B.
    鈍角
  3. C.
    直角
  4. D.
    不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：0119 期末題 題型：單選題

已知a、b、c是直線，α、β是平面，給出下列五種說法：
①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；   ②若a∥b，b⊥c，則a⊥c；
③若a∥β，bβ，則a∥b； ④若a與b異面，且a∥β，則b與β相交；
⑤若a∥c，α∥β，a⊥α，則c⊥β。
其中正確說法的個數(shù)是

[     ]

A．4
B．3
C．2
D．1

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