Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n
（1）求a_n；
（2）設(shè)a_n=2λ-1，試求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，得a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=n-1，兩式作差可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入a_n=2λ-1，得$λ=\frac{{a}_{n}+1}{2}=\frac{\frac{1}{{3}^{n-1}}+1}{2}$，由指數(shù)函數(shù)的值域求得λ的取值范圍．

解答 解：（1）由a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，
得a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=n-1，
兩式作差得：3^n-1a_n=n-n+1=1，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{3}^{n-1}}$；
（2）由a_n=2λ-1，得$λ=\frac{{a}_{n}+1}{2}=\frac{\frac{1}{{3}^{n-1}}+1}{2}$，
∵3^n-1＞1，∴0＜$\frac{1}{{3}^{n-1}}＜1$，
則1$＜\frac{1}{{3}^{n-1}}+1＜2$，即$\frac{1}{2}＜\frac{\frac{1}{{3}^{n-1}}+1}{2}＜1$．
∴λ的取值范圍是$（\frac{1}{2}，1）$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了作差法求數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．