Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）不恒等于零，對(duì)于任意x，y有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，f（x）＜0，則f （x） 為R上的________（填增，減）函數(shù)．

Answer 1

減
分析：先令x=y=0求出f（0）的值，然后令y=-x，可得函數(shù)的奇偶性，設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性．
解答：當(dāng)x=y=0時(shí)，則有f（0）=f（0）+f（0）=2（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
則有f（-x）=-f（x），
設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f （x） 為R上的減函數(shù)
故答案為：減
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的判定，以及奇偶性和函數(shù)值，屬于中檔題．