Question

過點(diǎn)（0，6）且與圓c₁：x²+y²+10x+10y=0切于原點(diǎn)的圓c₂，設(shè)圓c₁的圓心為點(diǎn)o₁，圓c₂的圓心為o₂
（1）把圓c₁：x²+y²+10x+10y=0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求圓c₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）點(diǎn)o₂到圓c₁上的最大的距離．

Answer 1

解：（1）方程x²+y²+10x+10y=0可化為（x+5）²+（y+5）²=50
（2）設(shè)圓c₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²
∵圓c₁與圓c₂相切于點(diǎn)o∴點(diǎn)o₁、o、o₂三點(diǎn)共線
∴點(diǎn)o₁、o、o₂三點(diǎn)共線的斜率，所在直線方程為y=x
∴設(shè)點(diǎn)o₂的坐標(biāo)為（a，a），即a=b
∴點(diǎn)（0，6）、點(diǎn)（0，0）在圓c₂上
∴（0-a）²+（6-a）²=r²
（0-a）²+（0-a）²=r²
∴
∴圓c₂：（x-3）²+（y-3）²=18
（3）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）是點(diǎn)o₂到圓c₁上最大的距離的點(diǎn)，
則點(diǎn)P在點(diǎn)o、o₂所在直線y=x上
解得（舍去）
∴點(diǎn)P（-10，-10）∴
分析：（1）利用配方法，對(duì)圓c₁的方程整理求得其標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)出圓c₂的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓c₁與圓c₂相切于點(diǎn)o判斷出o₁、o、o₂三點(diǎn)共線利用斜率相等求得其直線方程，設(shè)出o₂的坐標(biāo)點(diǎn)（0，6）、點(diǎn)（0，0）代入方程求得a，b和半徑r，則圓的方程可得．
（3）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）是點(diǎn)o₂到圓c₁上最大的距離的點(diǎn)把直線y=x與圓的方程聯(lián)立，求得p點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求得|p0₂|．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓與圓的位置關(guān)系，以及直線與圓的位置關(guān)系．第3問也可采用數(shù)形結(jié)合的方法，較直觀的解決問題．