Question

某公司今年年初支出100萬元購買一種新的設備，而且公司每年需要支出設備的維修費和工人工資等各種費用，第一年4萬元，第二年6萬元，以后每年均比上一年增加2萬元．除去各種費用后，預計公司每年純收益為28萬元．問：
（1）引進這種設備后，從第幾年起該公司開始獲利？（即：總收益大于各種支出）
（2）這種設備使用多少年，該公司的年平均收益最大？

Answer 1

分析：（1）由題意知，每年的費用是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，設純收益與使用年數(shù)n的關系為f（n），f（n）=28n-[4n+

n(n-1)

2

×2]-100，由此能夠求出引進這種設備后，第5年末的收益與支出恰好相等，故從第6年起該公司開始獲利．
（2）年平均收益為

f(n)

n

=25-(n+

100

n

)≤25-2×10=5．由此能夠求出這種設備使用10年，該公司的年平均收益最大．

解答：解：（1）由題意知，每年的費用是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，
設純收益與使用年數(shù)n的關系為f（n），
則f（n）=28n-[4n+

n(n-1)

2

×2]-100
=25n-n²-100．…（4分）
由f（n）＞0，得n²-25n+100＜0，
解得：5＜n＜20，
又∵n∈N，所以6，7，8，…，19．
且當n=5時，f（n）=0，
即第5年末的收益與支出恰好相等，故從第6年起該公司開始獲利．…（6分）
（2）年平均收益為：

f(n)

n

=25-(n+

100

n

)
≤25-2

n× 100 n

=5．…（10分）
當且僅當n=

100

n

，即n=10時，

f(n)

n

取得最大值．
即這種設備使用10年，該公司的年平均收益最大．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實際中的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意均值定理的靈活運用．