Question

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差.

(1)設(shè)數(shù)列{a_n}是公方差為p的等方差數(shù)列,求a_n和a_n-1(n≥2,n∈N)的關(guān)系式；

(2)若數(shù)列{a_n}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,證明該數(shù)列為常數(shù)列.

Answer 1

思路解析:本題題目中出現(xiàn)了一個(gè)有關(guān)數(shù)列的新名詞,對于此類問題的求解,首先應(yīng)當(dāng)注意正確地理解其含義,然后根據(jù)所學(xué)知識將問題求解.

(1)解:由等方差數(shù)列的定義可知a_n²-a_n-1²=p(n≥2,n∈N).

(2)證明:∵{a_n}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,

則a_n-a_n-1=a_n+1-a_n=d,

又{a_n}是等方差數(shù)列,

∴a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n².

∴(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n),

即d(a_n+a_n-1-a_n+1-a_n)=?-2d²=0.

∴d=0,即{a_n}是常數(shù)列.