Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$+1．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上遞減；
（2）記函數(shù)g（x）=f（x+1）-1，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，
（2）求出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明判斷．

解答 證明：（1）設(shè)x₁＞x₂＞1，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}-1}$-$\frac{1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
則x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
則f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上遞減．
（2）g（x）=f（x+1）-1=$\frac{1}{x+1-1}$+1-1=$\frac{1}{x}$，則g（x）是奇函數(shù)，
證明如下：∵g（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
g（-x）=-$\frac{1}{x}$=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．