Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+blnx（x＞0，實(shí)數(shù)a，b為常數(shù)）．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若a+b=-2，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)的根，判斷導(dǎo)函數(shù)左右兩邊的符號(hào)，得函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)極值的定義求出極值．
（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)的根，討論根在不在定義域內(nèi)；若根在定義域內(nèi)，討論兩根的大小；判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系求出單調(diào)性．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+x-lnx，則f′（x）=2x+1-

1

x

，
令f′（x）=0，得x=-1（舍去），x=

1

2

．
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
∴f（x）在x=

1

2

處取得極小值

3

4

+ln2．

（Ⅱ）由于a+b=-2，則a=-2-b，從而f（x）=x²-（2+b）x+blnx，
則f′（x）=2x-（2+b）+

b

x

=

(2x-b)(x-1)

x

令f′（x），得x₁=

b

2

，x₂=1．
1、當(dāng)

b

2

≤0，即b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），
單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
2、當(dāng)0＜

b

2

＜1，即0＜b＜2時(shí)，列表如下：
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

b

2

），（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（

b

2

，1）；
3、當(dāng)

b

2

=1，即b=2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
4、當(dāng)

b

2

＞1，即b＞2時(shí)，列表如下：

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（

b

2

，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（1，

b

2

）；
綜上：當(dāng)

b

2

≤0，即b＜0時(shí)，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），
單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)0＜

b

2

＜1，即0＜b＜2時(shí)，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

b

2

），（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（

b

2

，1）；
當(dāng)

b

2

=1，即b=2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)

b

2

＞1，即b＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（

b

2

+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（1，

b

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)：求極值，求單調(diào)區(qū)間．考查分類(lèi)討論時(shí)注意分類(lèi)的起點(diǎn)．