Question

8．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足$\sqrt{3}ccos（2016π-B）-sin（2017π+C）=0$．
（1）求角B的大��；
（2）若動點D在△ABC的外接圓上，且點D，B不在AC的同一側(cè)，AC=7，試求△ACD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和和正弦定理即可求出，
（2）根據(jù)余弦定理和基本不等式以及三角形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\sqrt{3}ccos（2016π-B）-bsin（2017π+C）=0$，
∴$\sqrt{3}ccosB+bsinC=0$，
由正弦定理，得$\sqrt{3}sinCcosB+sinBsinC=0$，
又0＜C＜π，
∴sinC≠0，
∴$\sqrt{3}ccosB+bsinC=0$，
即$tanB=-\sqrt{3}$，
又0＜B＜π，
∴$B=\frac{2π}{3}$．
（2）由點D在△ABC的外接圓上，B，D不在AC的同側(cè)，得$∠D=π-∠B=\frac{π}{3}$，
在△ACD中，由余弦定理，得AC²=AD²+CD²-2AD•CDcosD≥2AD•CD（1-cosD）=AD•CD，即49≥AD•CD，當(dāng)且僅當(dāng)AD=CD時，取等號．
∴△ACD的面積$S=\frac{1}{2}AD•CDsinD≤\frac{1}{2}×49sin\frac{π}{3}=\frac{{49\sqrt{3}}}{4}$．

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式以及三角函數(shù)的化簡，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題