Question

一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的外接球的表面積為（　　）

A．32π

B．34π

C．36π

D．38π

Answer 1

分析：由三視圖可知：原幾何體是一個(gè)四棱錐，側(cè)棱PD=3，且PD⊥底面ABCD，底面是一個(gè)矩形，且AD=3，DC=4．其外接球的球心O是在過(guò)底面ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)M且與底面垂直的直線上和PD的中垂面的交點(diǎn)．據(jù)此可求出外接球的半徑，進(jìn)而求出答案．

解答：解：由三視圖可知：原幾何體是一個(gè)四棱錐，側(cè)棱PD=3，且PD⊥底面ABCD，底面是一個(gè)矩形，且AD=3，DC=4．
連接對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)M，則DM=

1

2

DB=

1

2

32+42

=2.5．
設(shè)此四棱錐的外接球的球心為O，則OM⊥底面ABCD．連接OP、OD，則OP=OD，取PD的中點(diǎn)N，則ON⊥PD，DN=1.5．
于是此四棱錐的外接球的半徑r=

1．52+2．52

=

8.5

，
∴該棱錐的外接球的表面積=4πr²=4π×8.5=34π．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：由三視圖正確恢復(fù)原幾何體和求出外接球的半徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．