Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求直線EF與CD所成的角；
（Ⅲ）求二面角F-EC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）判斷PD、DC、DA兩兩互相垂直，以D為原點，建立空間直角坐標，用坐標表示點，求出直線EF的方向向量與平面PAD的法向量，從而可證EF∥平面PAD；
（II）求出直線EF的方向向量、直線CD的方向向量，利用向量夾角公式，即可求得直線EF與CD所成的角；
（III）求出平面ECB的法向量、平面ECF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角F-EC-B的余弦值．

解答：（I）證明：∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，∴PD、DC、DA兩兩互相垂直                           …（1分）
∴以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則                …（2分）
E（2，1，0），F(xiàn)（1，1，1），C（0，2，0），D（0，0，0）…（3分）
直線EF的方向向量為

EF

=(-1，0，1)，平面PAD的法向量為

DC

=(0，2，0)…（4分）
∵

EF

•

DC

=0
∴EF∥平面PAD…（5分）
（II）解：由（I）知，直線EF的方向向量為

EF

=(-1，0，1)，…（6分）
直線CD的方向向量為

DC

=(0，2，0)，…（7分）
∵cos＜

EF

，

DC

＞=

EF • DC

| EF || DC |

=0…（8分）
∴直線EF與CD所成的角為90°…（9分）
（III）P（0，0，2），B（2，2，0），E（2，1，0），F(xiàn)（1，1，1），C（0，2，0），D（0，0，0）
故

EC

=(-2，，1，0)，

FC

=(-1，1，-1)，則平面ECB的法向量為

DP

=(0，0，2)…（10分）
設平面ECF的法向量為

n

=(x，y，z)，則

EC • n =0 FC • n =0

，

-2x+y=0 -x+y-z=0

，令x=1，則y=2，z=1
故

n

=(1，2，1)…（12分）
∵cos＜

DP

•

n

＞=

DP • n

| DP |•| n |

=

2

2 6

=

6

6

，由圖可知，二面角F-EC-B為鈍角，
∴二面角F-EC-B的余弦值為-

6

6

．…（14分）

點評：本題考查線面平行，線線角，面面角，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，確定直線的方向向量與平面的法向量．