Question

已知數列{a_n}，{b_n}滿足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…
（1）若a₁=1，b_n=n，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．記c_n=a_6n-1（n≥1），求證：數列{c_n}為等差數列．

Answer 1

分析：（1）a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=1+

(n-1)×n

2

=

n2

2

-

n

2

+1．由此能求出數列{a_n}的通項．
（2）由題設知：b_n＞0，對任意的n∈N⁺有b_n+2b_n=b_n+1，b_n+1b_n+3=b_n+2得b_n+3b_n=1，于是又b_n+3b_n+6=1，故b_n+6=b_n，b_6n-5=b₁=1，b_6n-4=b₂=2，由此能夠證明數列{c_n}為等差數列．

解答：解：（1）當n≥2時，有
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1（4分）
=1+

(n-1)×n

2

=

n2

2

-

n

2

+1．（6分）
又因為a₁=1也滿足上式，所以數列{a_n}的通項為an=

n2

2

-

n

2

+1．（7分）
（2）由題設知：b_n＞0，對任意的n∈N⁺有
b_n+2b_n=b_n+1，b_n+1b_n+3=b_n+2得b_n+3b_n=1，
于是又b_n+3b_n+6=1，故b_n+6=b_n（9分）
∴b_6n-5=b₁=1，b_6n-4=b₂=2，
b_6n-3=b₃=2，b_6n-2=b₄=1，
b6n-1=b5=

1

2

，b6n=

1

2

，
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=b_6n-1+b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4
=1+2+2+1+

1

2

+

1

2

=7（n≥1），
所以數列{c_n}為等差數列．（16分）

點評：第（1）題考查數列的通項公式，解題時要注意累加法的合理運用，第（2）題考查等差數列的證明，解題時要注意合理地進行等價轉化．